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Processi Stocastici a Struttura Spazio Temporale  

Tema principale della ricerca è : Dalla microscala alla macroscala in sistemi stocastici di particelle interagenti. La linea di ricerca coinvolge un'analisi sistematica di sistemi non lineari di reazione-diffusione a geometria variabile, aventi le seguenti caratteristiche:

[a.] non-linearità: forte accoppiamento di equazioni di evoluzione per le geometrie (stocastiche) componenti la popolazione sotto studio, con le equazioni di evoluzione di campi sottostanti, che descrivono densità, concentrazioni, etc., di quantità rilevanti che interagiscono con la popolazione;

[b.] geometrie stocastiche: presenza di interfacce, alle varie dimensioni di Hausdorff, emergenti dai pattern, cluster e network derivanti dai fenomeni aggregativi checaratterizzano le popolazioni auto-organizzative;

[c.] scale multiple: tipicamente si presentano processi (stocastici) a diverse scale temporali e spaziali.

Descrizione

Un tema centrale di attuale interesse, nella biomatematica e nelle scienze sociali, riguarda il capire come le interazioni tra individui (che siano cellule, animali o essere umani) influenzino le proprietà e la dinamica dell'intera popolazione, e sono, a loro volta, influenzate dalla popolazione stessa.

Il comportamento individuale può influenzare gli altri individui anche tramite campi sottostanti, che caratterizzano la popolazione nella sua interezza, essendone daquesta influenzati; tale campo, a sua volta, può determinare un feedback che induce cambiamenti sul comportamento individuale. Dunque, i meccanismi di interazione possono essere descritti attraverso funzionali che dipendono dallo stato dell'intera popolazione, possibilmente anche attraverso campi esterni che evolvono a scale diverse. Queste connessioni richiedono, dunque, procedure rigorose di collegamento a scale diverse.

Il progetto locale ha come scopo lo sviluppo del tema riguardante il legame tra individuo e popolazione in campi specifici in biologia, in medicina e in dinamica sociale umana. L'attenzione è dedicata alla derivazione rigorosa, da un punto di vista matematico, del ponte tra scale differenti, attraverso opportune "leggi dei grandi numeri". Ciò richiede la convergenza dell'equazione di evoluzione delle misure empiriche delle particelle interagenti all'equazione di reazione-diffusione per icosiddetti "campi medi". Ci aspettiamo che le equazioni ottenute attraverso questa procedura di limite siano sistemi di reazione-diffusione nonlineari con geometrie variabili. D'altro canto, risultati analitici sull'esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni in specifici classi di PDE nonlineari, affrontati all'interno del gruppo di ricerca nazionale, saranno strumenti per la derivazione rigorosa dei mean field deterministici, a partire dai sistemi di particelle interagenti.

Parole chiave

Particelle interagenti, processi stocastici a valori in spazi di misure, convergenza debole in spazi metrici

Pubblicazioni

V. Capasso, D. Morale, G. Facchetti, The role of stochasticity in a model of retinal angiogenesis, IMA Journal of Applied Mathematics, 2012, doi:10.1093/imamat/hxs050

V. Capasso, D. Morale, "Asymptotic Behavior of a System of Stochastic Particles subject To Nonlocal Interactions " Stochastic Analysis and Applications, 27, 3, 2009 , 574 - 603

M. Burger, V. Capasso, D. Morale, "On an Aggregation Model with Long and Short Range Interactions" Nonlinear Analysis: Real World Applications, n.3, 2007, p. 939--958

Morale, D.,  Capasso, V.  Oelschlaeger  K. ``An interacting particle system modelling aggregation behavior: from individuals to populations.'' J. Mathematical Biology, Volume 50, Number 1, 2005, p. 49 - 66

Progetti Finanziati legati alle tematiche di ricerca

PRIN2009: Dalla microscala alla macroscala in sistemi stocastici di particelle interagenti in dinamica di popolazione.

PRIN2007:Dalla modellizzazione stocastica alla statistica di processi aleatori a struttura spazio-temporale in dinamica delle popolazioni.

PRIN2003: Processi Stocastici a Struttura Spazio-Temporale e loro Applicazioni

PRIN2001: Campi aleatori spazio-temporali con applicazioni a problemi industriali, alla scienza dei materiali, allo studio dei sistemi biologici a alle scienze cognitive. 

Settori scientifici di riferimento

MAT/06: Probabilità e Statistica Matematica

Componenti

Personale afferente al Dipartimento di Matematica
Vincenzo CAPASSO                                      info
Daniela MORALE    info
Mattia ZANELLA  
Collaboratori Esterni
Enea BONGIORNOUniversità di Novara 
Willi JAEGERUniversity of Heidelberg, Germania 
Karlo OELSCHLAEGERUniversity of Heidelberg, Germania 
Martin BURGERUniversity of Muenster, Germania  
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