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P-adic Mock modular form

L'obiettivo del presente progetto e' lo studio delle proprieta' algebriche e p-adiche delle forme modulari armoniche di Maass. Tali forme hanno una definizione puramente complesso-analitica. Alle forme la cui parte olomorfa abbia q-espansione a valori interi e' possibile associare divisori aritmetici su varieta' di Shimura di tipo ortogonale. Tale proiezione olomorfa e' una "mock modular form". Il programma di Kudla lega la teoria dell'intersezione di tali divisori ad opportune forme automorfe fornendo un ponte inaspettato e profondo fra due aree apparentemente lontane delle Teoria dei Numeri. Nel progetto ERC AdG da me presentato nel 2016, giudicato di fascia A nella fase due della valutazione, ma non finanziato, ho proposto una generalizzazione p-adica del programma di Kudla. La prima fase, oggetto del progetto Cariplo attuale, consiste nello studio delle forme di Maass e mock dal punto di vista algebrico e p-adico. Obiettivi Nel progetto ERC AdG da me presentato nel 2016, uno dei tre aspetti riguardava una generalizzazione p-adica del programma di Kudla. Proprio su questo punto si sono concentrate alcune critiche dei revisori che non hanno trovato sufficiente evidenza matematica per la mia proposta. Un eventuale finanziamento Cariplo e' destinato a rafforzare questo aspetto del mio precedente progetto ERC in vista di una nuova proposta, facendone anzi il punto forza. Tale rafforzamento riguarda 1) l'aspetto meramente scientifico, per cui lavorero' per trovare risultati a supporto della mia proposta, 2) la fattibilita' tramite la costituzione di un network di esperti e collaboratori, 3) la visibilita' delle mie scoperte tramite l'organizzazione di un convegno e visite ad esperti del settore. Strategia Lavori recenti di Candelori e Castella, di Bringmann, Guerzhoy e Kane e di Wagner forniscono evidenze sufficienti che esists una teoria algebrica e p-adica delle forme modulari armoniche di Maass. In particolare si sa che esiste un legame fra tali forme e la coomologia di opportuni fasci di de Rham di una curva modulare (con struttura di livello appropriata). In un lavoro in collaborazione con A. Iovita abbiamo costruito variazioni p-adiche di tali oggetti. Ritengo che le costruzioni e gli esempi sopra menzionati trovino una spiegazione naturale in questo contesto e portino ad una teoria soddisfacente per ora mancante. Se finanziato da Cariplo vorrei pubblicizzare il mio lavoro presso esperti del settore (Candelori, Ono, Darmon in Nord America, Bringmann e Roger, recenti vincitori di ERC, e Bruinier in Europa) e creare i presupposti per eventuali collaborazioni. Tale lavoro di visibilita' e networking verra' perseguito tramite l'organizzazione a Milano di un convegno. Risultati attesi Risultati scientifici: 1) Elaborazione di una teoria delle forme armoniche di Maass p-adiche e delle loro famiglie che spieghi i risultati frammentari che si trovano in letteratura. 2) Costruzione di un'autocurva associata alle forme armoniche di Maass p-adiche. Relazione con l'autocurva classica di Coleman-Mazur. 3) Costruzione dell'operatore \zeta di Bruinier-Funke in questo contesto. Risultati di Networking: Viste presso e collaborazioni con i prof. H. Darmon (McGill, CA), K. Ono (Emory University, USA), L. Candelori (PostDoc presso la Louisiana State University Baton Rouge, LA, USA), Kathrin Bringmann (University of Cologne), vincitrice dell' ERC ``Automorphic $q$ -series and their application", Jan Bruinier (TU Darmstadt, Germany) e Victor Roger ( Universitat Polit\'ecnica de Catalunya, Barcellona), vincitore del a consolidator ERC ``Euler systems and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, Bloch and Kato (BSD)".

Responsabile/i:
  • fabrizio ANDREATTA
Ente finanziatore:
FONDAZIONE CARIPLO
Tipologia:
CAR_ERC - CARIPLO ATTRATTIVITA' ERC (SOTTOMISURE A, B, C)
Capofila:
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI MILANO
Anno:
2018
Durata:
17
Stato:
APERTO
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